Gregoriaaninen kuukalenteri

Olli Salmi (15.1.2007)


Gregoriaanisessa ajanlaskussa on myös kuukalenteri, jota käytännössä käytetään vain pääsiäisen päivämäärän määräämiseen. Pääsiäinen on kevätpäiväntasaukselle sattuvan tai sen jälkeisen täydenkuun jälkeinen sunnuntai. Kevätpäiväntasaus on kalenterissa aina 21 p:nä maaliskuuta ja täysikuu on kuunkierron 14. päivä. Pääsiäisen määräämiseen ei käytetä todellisia tähtitaivaan tapahtumia, vaan kalenterin määräämiä päiviä, sillä tavallisen papin piti pystyä laskemaan pääsiäisen päivämäärä ilman tähtitieteellisiä havaintoja ja monimutkaisia laskutoimituksia. Tavallisesti yllä mainitut tarvittavat tiedot saadaan valmiiksi lasketuista taulukoista, mutta yritän tässä selvittää, miten taulukot saadaan lasketuksi.

Gregoriaanisessa kuukalenterissa käytetään n. 2500 vuotta sitten keksittyä Metonin jaksoa, jossa kuun vaiheet osuvat samoille aurinkovuoden päiville 19 vuoden välein. Kuunkierrot olivat joko 30 päivän pituisia (täysiä) tai 29 päivän pituisia (onttoja).  Samaa jaksoa käytettiin jo juliaanisessa ja muissa vanhoissa ajanlaskuissa. Pääsiäisen määräävä kuunkierto on 29 päivän pituinen, ajalla 8.3.–5.4. (De anno et ejus partibus).

Gregoriaanisessa ajanlaskussa oleellinen käsite on epakti, joka tarkoittaa kuun ikää vuoden alussa, eli kuinka monta päivää vuoden alun kuunkierrosta on vanhan vuoden puolella, uuden kuun päivä mukaanlukien. Samaa käsitettä käytettiin jo juliaanisessa kalenterissa, mutta eri merkityksessä. Epakti tarkoittaa ’lisätty’, päivät jotka kuuvuoteen on lisättävä, jotta se päättyisi samana päivänä kuin aurinkovuosi. Epakti kasvaa joka vuosi 11:llä, sillä kuuvuosi on 354 päivän pituinen, 11 päivää lyhyempi kuin aurinkovuosi.

Käytän kahden uuden kuun välisestä ajasta sanaa kuunkierto. Tämä ei suureksi hämmästyksekseni olekaan lunaation suomenkielinen vastine, vaan vakiintuneet termit näyttävät olevan kuukausi, lunaatio, synodinen kuukausi, kuu-kuukausi tai taivaallinen kuukausi. Kuunkierrolla ei näytä olevan mitään tarkkaa merkitystä, joten se saa kelvata.

Seuraavissa lähinnä Giuseppe Peanolta saaduissa kaavoissa a on vuosiluku, a mod b tarkoittaa jakojäännöstä a:b ja int(a/b) osamäärää a:b ilman jakojäännöstä.

Kultainen luku n=(a mod 19)+1
Voi saada arvot 1–19. Luku määrää vuoden järjestysnumeron Metonin jaksossa.

Juliaaninen epakti j=(11*(n–1)) mod 30
Epakti kasvaa vuosittain 11:llä ja voi saada arvot 0–29. Kultaista lukua 1 vastaa epakti 0. Juliaaninen epakti tarkoittaa kuun ikää maaliskuun 22. p:nä.

Aurinkotasaus s=int(a/100)–int(a/400)
Tämä kumoaa gregoriaanisen kalenterin karkauspäiväpoikkeukset. Kuuvuodessa myös 400:llä jaolliset sataluvut ovat karkausvuosia, joten niiden vaikutus kumotaan pienentämällä epaktia.

Kuutasaus l=int{[8*int(a/100)+13]/25}
Tämä korjaa kuuvuoden virheet. Epaktia kasvatetaan yhdellä kahdeksan kertaa 2500 vuodessa 300 vuoden välein, lukuunottamatta viimeistä väliä, joka on 400 vuotta. Kalenteriuudistuksen jälkeen ensimmäinen korjaus tehtiin v.1800, joka myös päätti 2500 vuoden jakson. Seuraava kuutasaus on siis v. 2100.

Gregoriaaninen epakti e=(j–s+l+8) mod 30
Jos kuun ikä 22. p:nä maaliskuuta on  0, gregoriaanisen epaktin tulee olla 9. Kun haluttiin välttää pääsiäisen sijoittumista ennen juutalaisten happamattoman leivän juhlaa, otettiin varmuuden vuoksi gregoriaanisen epaktin vastaavaksi arvoksi 8. Uudet kuut ovat siis päivää myöhemmin kuin pitäisi.

Karkauspäivä on päivä ennen Pyhän Matthiaksen päivää 24.2. Se aiheuttaa usein 31 päivän kuunkierron.

Sunnuntaikirjain
Ikuisessa kalenterissa viikonpäivät on merkitty kirjaimella, jolloin vuoden ensimmäinen päivä on A, toinen B j.n.e. Kustakin vuodesta pitää tietää sunnuntaikirjain, se kirjain, jolle sunnuntai sattuu. Seuraavassa on Giuseppe Peanon kaava yhtenä funktiona.
d=(6–2*(int(a/100) mod 4)+((a–100*int(a/100))+int((a–100*int(a/100))/4)) mod 7
0= sunnuntai, 1=maanantai j.n.e. Kaava laskee vuodenvaihdetta edeltävän päivän eli vuoden 0-päivän, toisin sanoen kuinka monta arkipäivää on edellisen vuoden puolella. Tämä luku on erilaisten laskujen kannalta kätevämpi kuin sunnuntaikirjain.

Sunnuntaikirjaimen saamiseksi lasketaan 6–d ja tuloksen 0=A, 1=B j.n.e. Karkausvuodelle kaava laskee karkauspäivän jälkeisen sunnuntaikirjaimen. Alkuvuoden kirjain on silloin aakkosten edellinen kirjain.

Kaavan ymmärtämiseksi se on hyvä jakaa Peanon tapaan osiin. Olkoon s=int(a/100), siis vuosisadat, ja n=a–100*int(a/100) eli vuodet vuosisadan päälle. s mod 4 laskee niiden satalukujen määrän, jotka eivät ole karkausvuosia. Tällaiseen vuoteen päättyvän vuosisadan aikana vuodenvaihde siirtyy taaksepäin kaksi päivää, joten jakojäännös kerrotaan kahdella, 2*(s mod 4). Karkausvuoteen päättyvän vuosisadan aikana vuodenvaihde siirtyy taaksepäin yhden päivän ja saa arvon 6, 6–2*(s mod 4).  400:lla jaolliset karkausvuodet alkavat siis aina sunnuntailla.

Termi n+n/4 laskee vuosisadan vuodet ja karkausvuodet. Vuodenvaihde siirtyy tavallisena vuonna eteenpäin yhden päivän ja karkausvuonna kaksi päivää.

Esimerkiksi vuosi 1947:
6–2*[19 mod 4]=6–2*3=6–6=0
47+int(47/4)=47+11=58
d=(0+58) mod 7 =2. Tammikuun ensimmäinen päivä 1947 on 3, keskiviikko. Sunnuntaikirjain on siis 6–2=4 eli E.

Tammikuussa päättyvä kuunkierto on aina 30 päivän pituinen. Siitä lasketaan sitten vuorotellen onttoja ja täysiä kuunkiertoja. Jos vuoteen sattuu 13 kuunkiertoa, ylimääräinen 30 päivän mittainen kuunkierto on vuoden lopussa, jos epakti on välillä 24–0. Jos epakti on 26–29, ylimääräinen täysi kuunkierto sattuu vuoden alkuun, jolloin täysiä kuunkiertoja on siis kaksi peräkkäin. Tällä saadaan pääsiäistäysikuu Nikean kirkolliskokouksessa määrättyihin rajoihin 29 päivän sisään. Vastaava kuunkierto on siis ontto. Epaktin ollessa 25 ylimääräinen 30 päivän mittainen kuunkierto on vuoden alussa, jos kultainen luku on 11 tai alle, muuten vuoden lopussa. Tällä vältetään uuden kuun sattuminen samalle päivälle Metonin jakson eri vuosina. Jos sekä epakti että kultainen luku ovat 19, uusi kuu sattuu joulukuun 31. päivälle, sillä Metonin jakson viimeinen kuunkierto on ontto. Tässä vaiheessa on nimittäin ns. saltus lunae ’kuun hyppy’, jolloin epakti kasvaa 12:lla.

Näillä tiedoilla on mahdollista laskea kuun vaihe tiettynä päivänä. Pitää vain laskea kuinka monta päivää on kulunut ja montako kuunkiertoa siihen sisältyy. Lasketaanpa kuun vaihe 5.11.2006:
Ennen marraskuun alkua oli aikaa kulunut 10 kuukautta (10*30), joista kuusi oli 31 p:n pituista (+6) ja helmikuu 28 p:n pituinen (–2). Marraskuuta oli kulunut 5 päivää (+5). Yhteensä siis 10*30+6-2+5=309 päivää. Tähän sisältyy 10 kuunkiertoa (10*30), joista 5 on onttoja (–5), siis 295 päivää. Tähän lisätään v:n 2006 epakti 0, joten ensimmäisestä uudesta kuusta on myös kulunut 295 päivää. Kuluvaa kuunkiertoa on siis kulunut 309–295=14 päivää, joten päivä on täydenkuun päivä.

Voidaan myös laskea kullekin kalenterikukaudelle oma epaktinsa. Näin tehdään Italiassa, jossa epaktit ovat elävää kansanperinnettä. Tavallisesti epaktiin lisätään luku 0, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 9, 9. Tällä eivät ontot ja täydet kuut satu oikeihin paikkoihin, mutta tarkkuus on luultavasti riittävä maataloustöitä varten.

Seuraavassa on pääsiäisen määräämiseen tarkoitettu ikuinen kalenteri.  Taulukko näyttää uuden kuun päivän kullakin epaktin arvolla. Käyttäjän täytyy tietää vuoden epakti ja sunnuntaikirjain.  Kursivoitua arvoa 25 käytetään kultaisen luvun ollessa yli 11.  Kursivoitua arvoa 19 käytetään kultaisen luvun ollessa 19, yllä mainittuna Metonin jakson viimeisenä vuotena. Seuraavan vuoden epakti on 1, mikä edellyttää uutta kuuta joulukuun 31. päivälle.



 tammi helmi  maalis  huhti
 touko
 kesä
 heinä
 elo
 syys loka marras joulu
1 0 A
 29 D
 0 D
 29 G
 28 B
 27 E
 26 G
 25 24 C
 23 F
 22 A
 21 D
 20 F
 1
2 29 B
 28 E
 29 E
 28 A
 27 C
 25 26 F
 25 A
 23 D
 22 G
 21 B
 20 E
 19 G
 2
3 28 C
 27 F
 28 F
 27 B
 26 D
 25 24 G
 24 B
 22 E
 21 A
 20 C
 19 F
 18 A
 3
4 27 D
 25 26 G
 27 G
 25 26 C
 25 E
 23 A
 23 C
 21 F
 20 B
 19 D
 18 G
 17 B
 4
5 26 E
 25 24 A
 26 A
 25 24 D
 24 F
 22 B
 22 D
 20 G
 19 C
 18 E
 17 A
 16 C
 5
6 25 F
 23 B
 25 B
 23 E
 23 G
 21 C
 21 E
 19 A
 18 D
 17 F
 16 B
 15 D
 6
7 24 G
 22 C
 24 C
 22 F
 22 A
 20 D
 20 F
 18 B
 17 E
 16 G
 15 C
 14 E
 7
8 23 A
 21 D
 23 D
 21 G
 21 B
 19 E
 19 G
 17 C
 16 F
 15 A
 14 D
 13 F
 8
9 22 B
 20 E
 22 E
 20 A
 20 C
 18 F
 18 A
 16 D
 15 G
 14 B
 13 E
 12 G
 9
10 21 C
 19 F
 21 F
 19 B
 19 D
 17 G
 17 B
 15 E
 14 A
 13 C
 12 F
 11 A
 10
11 20 D
 18 G
 20 G
 18 C
 18 E
 16 A
 16 C
 14 F
 13 B
 12 D
 11 G
 10 B
 11
12 19 E
 17 A
 19 A
 17 D
 17 F
 15 B
 15 D
 13 G
 12 C
 11 E
 10 A
 9 C
 12
13 18 F
 16 B
 18 B
 16 E
 16 G
 14 C
 14 E
 12 A
 11 D
 10 F
 9 B
 8 D
 13
14 17 G
 15 C
 17 C
 15 F
 15 A
 13 D
 13 F
 11 B
 10 E
 9 G
 8 C
 7 E
 14
15 16 A
 14 D
 16 D
 14 G
 14 B
 12 E
 12 G
 10 C
 9 F
 8 A
 7 D
 6 F
 15
16 15 B
 13 E
 15 E
 13 A
 13 C
 11 F
 11 A
 9 D
 8 G
 7 B
 6 E
 5 G
 16
17 14 C
 12 F
 14 F
 12 B
 12 D
 10 G
 10 B
 8 E
 7 A
 6 C
 5 F
 4 A
 17
18 13 D
 11 G
 13 G
 11 C
 11 E
 9 A
 9 C
 7 F
 6 B
 5 D
 4 G
 3 B
 18
19 12 E
 10 A
 12 A
 10 D
 10 F
 8 B
 8 D
 6 G
 5 C
 4 E
 3 A
 2 C
 19
20 11 F
 9 B
 11 B
 9 E
 9 G
 7 C
 7 E
 5 A
 4 D
 3 F
 2 B
 1 D
 20
21 10 G
 8 C
 10 C
 8 F
 8 A
 6 D
 6 F
 4 B
 3 E
 2 G
 1 C
 0 E
 21
22 9 A
 7 D
 9 D
 7 G
 7 B
 5 E
 5 G
 3 C
 2 F
 1 A
 0 D
 29 F
 22
23 8 B
 6 E
 8 E
 6 A
 6 C
 4 F
 4 A
 2 D
 1 G
 0 B
 29 E
 28 G
 23
24 7 C
 5 F
 7 F
 5 B
 5 D
 3 G
 3 B
 1 E
 0 A
 29 C
 28 F
 27 A
 24
25 6 D
 4 G
 6 G
 4 C
 4 E
 2 A
 2 C
 0 F
 29 B
 28 D
 27 G
 26 B
 25
26 5 E
 3 A
 5 A
 3 D
 3 F
 1 B
 1 D
 29 G
 28 C
 27 E
 25 26 A
 25 C
 26
27 4 F
 2 B
 4 B
 2 E
 2 G
 0 C
 0 E
 28 A
 27 D
 26 F
 25 24 B
 24 D
 27
28 3 G
 1 C
 3 C
 1 F
 1 A
 29 D
 29 F
 27 B
 25 26 E
 25 G
 23 C
 23 E
 28
29 2 A

2 D
 0 G
 0 B
 28 E
 28 G
 26 C
 25 24 F
 24 A
 22 D
 22 F
 29
30 1 B

1 E
 29 A
 29 C
 27 F
 27 A
 25 D
 23 G
 23 B
 21 E
 21 G
 30
31 0 C

0 F

28 D

25 26 B
 24 E

22 C
 - F
 19 20 A
 31

Tässä kaunis esimerkki ikuisesta kalenterista.

Vuosiluku Kultainen luku Epakti Sunnuntaikirjain
2006 12 0 A
2007 13 11 G
2008 14 22 FE
2009 15 3 D
2010 16 14 C

Hamassa tulevaisuudessa saattaa tapahtua, että sellaisessa vuodenvaihteessa, jossa tasaus sattuu yhteen sopivan epaktin kanssa, uusi kuu on sekä 31.12 että 1.1 tai puuttuu molemmista. Vuodet tietävät naapurivuosista vain kultaisen luvun, eivät vuodenvaihteessa tehtyjä korjauksia. 5700000 v:n jakson jälkeen samat yhdistelmät toistuvat. Roegel (2004) mainitsee seuraavanlaiset tapaukset:

epakti seurava epakti hyppy toimenpide syy ensiesiintymä tapauksia
19 1 12 lisättävä 31.12 kun kultainen luku on 19 Metonin jakso
9949
19 2 13 Metonin jakso ja kuutasaus
19 0 11 poistettava 31.12 vaikka kultainen luku on 19 aurinkotasaus v. 43699 51
19 1 12 lisättävä 31.12 vaikka kultainen luku ei ole 19 kuutasaus v. 16399 144
18 1 13 lisättävä 1.1 kuutasaus v. 106399 8
20 0 10 poistettava 31.12 tai 1.1 aurinkotasaus v. 4199 918

Ilmiö ei vaikuta pääsiäiseen. Huomattava on, että viimeisessä tapauksessa tulee 31 päivän kuunkiertoja. Vuoden vaihteessa on muutenkin ongelmia. Claviuskin (1603:512) mainitsee, että vuosina 15200, 38000, 60800 ja 83600 tammikuussa päättyvässä kuunkierrossa on vain 28 päivää.

Sormilla laskeminen
Mitä jos taulukoita ei ole käsillä? Ei hätää, onhan meillä kädet. Clavius (1603) selittää, kuinka kultaiset luvut, epaktit ja sunnuntaikirjaimet lasketaan sormin.

Kultaisia lukuja laskettaessa vuosisadat asetetaan sormien niveliin, tai oikeammin luihin (Clavius 1603:562–563). Etusormen tyveen (kämmenluuhun) 0, keskisormen tyveen 100, nimettömän tyveen 200 ja pikkusormen tyveen 300. Sitten taas etusormen tyviniveleen (ensimmäiseen sormiluuhun) 400, keskisormeen 500, nimettömään 700 ja pikkusormeen 700. Sitten siirrytään etusormen keskiniveleen, johon sijoitetaan 800, sitten keskisormeen 900, nimettömään  1000 ja pikkusormeen 1100. Kärkiniveliin samassa järjestyksessä seuraavat vuosisadat, 1200, 1300, 1400, 1500. Viimeksi siirrytään kärkinivelen kynnen alle, johon sijoitetaan 1600, 1700, 1800 ja 1900. 1900 on myös etusormen tyvessä, josta eteenpäin voidaan taas laskea myöhempiä vuosisatoja.

Samoihin paikkoihin sijoitetaan kultaiset luvut mutta eri järjestyksessä, etusormen tyveen 1, tyviniveleen 2, keskiniveleen 3, kärkiniveleen 4 ja kynnen alapuolelle 5. Keskisormeen tulevat samassa järjestyksessä kultaiset luvut 6–10, nimettömään 11–15 ja pikkusormeen 15–20 (20=1). Näihin on jo lisätty luku 1.

Vuosisatojen päälle tulevat vuodet on jaettava 19:llä ja otettava jakojäännös. 19:llä jakaminen on helppoa toistuvalla vähennyslaskulla. Vähennetään 20 ja lisätään yksi kutakin vähennettyä 19:ää kohti. Esim. 97–4*20=17. Tähän lisätään 4, josta saadaan 21. Jakojäännökseksi tulee 2. Tämä lisätään vuosisatoihin kultaisen luvun saamiseksi.

Jos vuosisatoja on paljon, niistä voi samalla menettelyllä toistuvasti vähentää 1900, jotta saadaan kultainen luku käden ulottuville. Esim. v. 9700 sijoitetaan nimettömän tyveen, samaan paikkaan kuin v. 200, edellisessä kappaleessahan saatiin jakojäännökseksi 2, kun 97 jaetaan 19:llä.

Kun kultainen luku on tiedossa, lasketaan epakti peukalolta (Clavius 1603:564). Kultaisen luvun 1 paikka on peukalon kärkinivelellä, 2:n paikka on tyvinivelellä ja 3:n paikka peukalon tyvellä. Sitten mennään taas peukalon kärkeen, johon tulee 4, tyviniveleen 5 ja tyveen 6. Näin jatketaan aina kärjestä tyveen, kunnes lopulta 19 tulee peukalon kärkinivelelle.  Tällä tavalla lasketaan, kunnes päästään vuoden kultaiseen lukuun. Jos sen paikka on peukalon kärjessä, kultaiseen lukuun lisätään epaktin saamiseksi 10. Jos kultainen luku sijaitsee tyvinivelellä, lisätään 20, mutta jos se on peukalon tyvessä, ei lisätä mitään. Tuloksesta vähennetään 30 jos mahdollista, tai lisätään 30, jos se on jatkossa tarpeen.

Tulos on vasta epakti 1500-luvulle ennen kalenteriuudistusta. Uudistuksessa poistettiin 10 päivää, jotka pitää vähentää näin saadusta epaktista. Lisäksi pitää vähentää jokainen aurinkotasaus ja lisätä jokainen kuutasaus. Aurinkotasaus on tehty vuosina 1700, 1800, ja 1900 ja kuutasaus 1800, joten saadusta epaktista tulee vähentää kaikkiaan 12 vuosina 1900–2099. V. 2100 tulee sekä aurinko- että kuutasaus, jotka kumoavat toisensa, ja v. 2200 aurinkotasaus, jonka jälkeen peukalon antamasta epaktista vähennetään 13. Clavius antaa näiden vuosien muistamiseksi runon, mutta tasausten vuodet on ehkä helpompi muistaa kuin latinankielinen runo.

Sunnuntaikirjain voidaan myös laskea kädestä (Clavius 1603:574). Siihen tarvitaan peukalosta kolme paikkaa ja muiden sormien tyvet. Ensin asetetaan käteen kuluvan vuosisadan sunnuntaikirjaimet. B pannaan 400:lla jaollisen vuosisadan jälkeisenä vuosisatana peukalon kärkeen, seuraavana peukalon tyveen, sitä seuraavana keskisormen tyveen ja karkausvuosisatana nimettömän tyveen. Muut sunnuntaikirjaimet tulevat sitten aakkosjärjestyksessä B:stä oikealle ja jatkuvat taas pikkusormen tyvestä.

Sitten lasketaan peukalon kärjestä vasemmalle vuosisadan päälle jääviä vuosia. Karkausvuodet lasketaan kahdeksi, siis 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, ja sitten taas peukaloon 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12 j.n.e. Jakso on aurinkojakso, 28 vuotta, ja vuosiluvusta voi laskea ensin 28:n jakojäännöksen vähentämällä toistuvasti 28. Se tapahtuu samalla periaatteella kuin 19:llä jako: vähennetään 30 ja lisätään jokaista vähennettyä 30:tä kohti 2. Mihin lasku päättyy, siitä tulee sunnuntaikirjain.

Esimerkki: V. 2006 sunnuntaikirjain B asetetaan nimettömän tyveen. A on pikkusormen tyvessä, C keskisormen tyvessä ja D etusormen tyvessä. E on peukalon tyvessä, F sen ensimmäisessä nivelessä ja G viimeisessä. Sitten lasketaan peukalon kärjestä 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6 ja päädytään etusormen tyveen. V. 2006 sunnuntaikirjain on siis A, eli vuosi alkoi sunnuntaina.

Eläinradan merkeistä Clavius antaa pienen runon (Clavius 1603:583), joka tässä myös mainittakoon, vaikka se kuukalenteriin ei liitykään:

Inclyta Laus Iustu Impenditur: Haeresis Horret
Garrula; Grex Gratus Faustos Gratatur Honores.

Sanat edustavat järjestyksessä kalenterikuukausia ja alkukirjaimet aakkosjärjestyksen mukaan lukuja (latinan aakkosista puuttuu j). Kirjaimen edustama luku vähennetään luvusta 30, jolloin tulokseksi saadaan, minä kuukauden päivänä aurinko siirtyy seuraavaan eläinradan merkkiin.

Esimerkiksi maaliskuussa alkukirjain on I eli 9, joten erotukseksi saadaan 21. Aurinko siis siirtyy oinaan merkkiin 21.3. Marraskuussa vastaava päivä on 30–7=23, ja aurinko siirtyy jousimiehen merkkiin 23.11.

Kalenterikuukausi Merkki Alkukirjain Luku Päivämäärä Kesto
tammikuu vesimies I 9 21.1 29
helmikuu kalat L 11 19.2 30
maaliskuu oinas I 9 21.3 31
huhtikuu härkä I 9 21.4 31
toukokuu kaksoset H 8 22.5 31
kesäkuu krapu H 8 22.6 31
heinäkuu jalopeura G 7 23.7 31
elokuu neitsyt G 7 23.8 31
syyskuu vaaka G 7 23.9 31
lokakuu skorpioni F 6 24.10 30
marraskuu jousimies G 7 23.11 29
joulukuu kauris H 8 22.12 30

Kestot ovat kauriin suhteen symmetriset. Kestojen keskiarvot luultavasti edellyttäisivät 29 päivän kaurista ja 31 päivän krapua.

Näillä tiedoin voidaan myös selvittää. missä aurinko tiettynä päivänä on. Lisätään alkukirjaimen tarkoittama luku päivämäärään. Jos summa on alle 30, aurinko on edellisessä eläinradan merkissä tuloksen ilmoittamassa asteluvussa. Jos tulos on yli 30, vähennetään siitä 30 ja erotus ilmaisee kuinka monennessa asteessa aurinko on.

Esimerkiksi 10. p. huhtikuuta: 10+9=19, joka on alle 30. Aurinko ei ole vielä härän merkissä, vaan oinaan 19. asteessa.
27. p. huhtikuuta: 27+7=34, 34–30=4. Aurinko on siis vaa’an 4. asteessa.
22. p.toukokuuta: 22+8=30. Aurinko on härän 30. asteessa tai kaksosten alussa.

Clavius huomauttaa, että tulos ei ole täysin tarkka. Suurempaan täsmällisyyteen tarvitaan tähtitieteilijöiden käyttämiä instrumentteja. Sitäpaitsi Claviuksen antamat päivämäärät ovat nekin likiarvoja.

Gaussin pääsiäiskaava
Carl Friedrich Gauss kehitti yksinkertaisena pidetyn kaavan pääsiäisen laskemiseksi. Kaava on nerokas, mutta ei kuitenkaan kuvaa gregoriaanista kuukalenteria (esim. vuorottaisia 30 ja 29 vuorokauden kuita), vaan se käsittelee vain pääsiäisen päivämäärää mustana laatikkona, joten sitä on vaikea pitää yksinkertaisena. Seuraavassa esitän ensin alkuperäisen säännön ja sitten Gaussin Teosten toimittajan Alfred Loewyn korjauksen Nachlassin (”Jäämistön”) huomautuksissa. A tarkoittaa vuosilukua, E epaktia.

a=A mod 19
a+1 on kultainen luku
b=A mod 4
Jos b=0, vuosi on karkausvuosi juliaanisessa kalenterissa
c=A mod 7
c:n arvo vastaa viikonpäivän muutosta tavallisena vuonna.
k=int(A/100)
Vuosisadat
p=int((8*k+13)/25)
Kuutasaus
q=int(k/4)
Jos q=0, vuosi ei ole karkausvuosi gregoriaanisessa kalenterissa, joten q tarkoittaa gregoriaanisessa kalenterissa pois jäävien karkausvuosien määrää.
M=(15+k–p–q) mod 30
Pääsiäistäysikuun etäisyys maaliskuun 21. päivästä, kun a=0. Juliaanisessa kalenterissa aina 15.
N=(4+k–q) mod 7
Aurinkotasauksen vaiukutus viikonpäivään. Juliaanisessa kalenerissa aina 6.
d=(19*a+M) mod 30
Pääsiäistäysikuun etäisyys maaliskuun 22. p:stä.
e=(2*b+4*c+6*d+N) mod 7
Pääsiäissunnuntain etäisyys pääsiäistäysikuusta. Gauss laskee karkauspäivät 1700-luvulla pääsiäissunnuntain 21.3. ja minkä tahansa vuoden pääsiäissunnuntain välillä. Päivien luvun tulee olla jaollinen 7:llä. Kaavaan voidaan lisätä tai siitä vähentää seitsemällä jaollisia termejä jakojäännöksen muuttumatta. Tulokseksi saadaan tämä. Gaussin keksimää kongruenssilaskentaa siis.
Pääsiäispäivä on (22+d+e):s maaliskuuta tai (d+e–9):s huhtikuuta.
Poikkeukset:
Jos saatu päivä on 26.4, pääsiäinen on 19.4. (d=29, e=6)
Jos saatu päivä 25.4 ja a>10, pääsiäinen on 18.4. (d=28, e=6)

Gaussin kaavasta selviää myös pääsiäistäysikuun päivämäärä:
Pääsiäistäysikuu (21+d):s maaliskuuta tai (21+d–9):s huhtikuuta, mutta
jos päivä olisi 19.4, täysikuu on 18.4. (d=29)
jos päivä olisi 18.4 ja a>10, täysikuu on 17.4. (d=28)

Nämä johtuvat siitä, että pääsiäiskuu on 29 vuorokauden pituinen, ja Gaussin kaava edellyttää 30 päivän kuunkiertoa.

Pääsiäistäysikuu (21+d):s maaliskuuta tai (21+d–9):s huhtikuuta, mutta
a) jos d=29,  d=28
b) jos d=28 ja a>10,  d=27
Kummassakin tapauksessa e=(e+1) mod 7.
Ensimmäinen tapaus siirtää pääsiäistäysikuun päivää yhtä päivää aikaisemmaksi, koska pääsiäiskuu on vain 29 vuorokauden pituinen. Saman tekee gregoriaaninen kalenteri asettamalla kaksi epaktia samalle päivälle. Seuraava sunnuntai ei tietystikään siirry, mutta sen ja pääsiäistäysikuun välinen ero e kasvaa vastaavasti yhdellä päivällä. Jos e=6 alunperin, pääsiäinen on viikkoa aikaisemmin.

Toinen tapaus vastaa ikuisen kalenterin epaktia 25. Sillä siis vältetään uuden kuun sattuminen samalle päivälle Metonin jakson eri vuosina.

Loewy antaa seuraavan kaavan pääsiäistäysikuulle:
Maaliskuun 21+d-int((d+int(a/11)) mod 29)

Korjauksessa  int((d+int(a/11)) mod 29) ilmaistaan Boolen algebralla yllä olevat ehdot. Teoreettisesti se on ihan sama asia kuin Gaussin poikkeussäännöt. Sama korjaus vähennetään d:stä pääsiäistäysikuun päivää määrättäessä. Kun erotus lisätään maaliskuun 21. päivään, saadaan selville pääsiäistäysikuun päivämäärä. Loewy saa yhdistettyä ehdot kaavaan, jonka voi liittää Gaussin kaavaan niin että selvitään ilman poikkeussääntöjä. Loewyn korjaus on vähennettävä d:stä ja lisättävä e:n jaettavaan.

int(a/11) saa arvon 1 jos a>10. koko lauseke saa arvon 1 jos d=29, tai d=28 ja a>10. Kyseessä on siis vain oikeastaan yllämainittujen ehtojen esittämisestä Boolen algebralla. Teoreettisesti se ei ole tyylikkäämpää mutta on miellyttävämpää laskettaessa esim. taulukkolaskennalla. Heiner Lichtenbergin kaavassa (Wikipedia: Gaußsche Osterformel) ”kalendaarinen korjaussuure” on samaten Boolen algebraa. Samoin Oudinin Gaussin sääntöä selvempi kaava käyttää Boolen algebraa.

Pääsiäissunnuntai 22+d-int((d+int(a/11)) mod 29)+(e+int((d+int(a/11)) mod 29) mod 7)

Tai jos erotetaan Loewyn korjaus omaksi muuttujakseen l=int((d+int(a/11)) mod 29):
Pääsiäinen
22+d-l+(e+l) mod 7)
Pääsiäistäysikuu
21+d-l

Loewyn kaava epaktille:
E=(53+11*a-M) mod 30

Koska Gaussin kaavalla saa selville pääsiäistäysikuun ja pääsiäissunnuntain, sillä saa myös selville kuun vaiheet, mutta se on vaivalloisempaa kuin taulukosta katsominen.

Lähteet
Breviarium Romanum: De anno et ejus partibus
http://www.ecclesiacatholica.com/breviarium%20romanum/de%20anno%20et%20eius%20partibus.htm
Britannica: Calendar
http://www.math.ubc.ca/~cass/calendar/cal997.html
http://www.math.ubc.ca/~cass/calendar/calendar.html
Bär,  Nikolaus A.:  Berechnung des Osterdatums
http://www.nabkal.de/ostrech2.html
Calendarium
http://www.ecclesiacatholica.com/missale%20romanum/calendarium.htm
Catholic Encyclopedia: Epact
http://www.newadvent.org/cathen/0548b.htm [8.11.2006]
The Christian calendar - Easter
http://webexhibits.org/calendars/calendar-christian-easter.html
Clavius, Christophorus: : Romani calendarii a Gregorio XII restituti explicatio, Roma 1603. (Opera Mathematica of Christoph Clavius,Fifth Volume, Roman Calendar of Gregory XIII)
http://mathematics.library.nd.edu/clavius/
Gauss, Carl Friedrich: Berechnung der Osterfestes Berechnung des Osterfestes. Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, (Aug. 1800), S. 121–130. Nachdruck in: Carl Friedrich Gauß. Werke. Dieterich, Göttingen, 1863, Band 6, S. 73–79
http://dz1.gdz-cms.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=137484
Gauss, Carl Friedrich: Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes. Nachdruck in: Carl Friedrich Gauß. Werke. Dieterich, Göttingen, 1863, Band 6, S. 73–79
http://dz1.gdz-cms.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=139587
Gauss, Carl Friedrich: Nachlass. Nachdruck in: Carl Friedrich Gauß. Werke. Dieterich, Göttingen, 1863, Band 6, S. 206–210
http://dz1.gdz-cms.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=139592
Gerth, Stefan: Die Gauß'sche Osterregel
http://krapfen.org/ostern/ostern.html
Missale Romanum: De Anno et ejus Partibus (Vom Jahr und seinen Teilen) http://www.nabkal.de/missale1b.html [24.7.2005]
Mnemonic Computus Diagrams Of Hands
http://www.collectbritain.co.uk/personalisation/object.cfm?uid=011EGE000003314U00074V00 [29.4.2007]
Peano, Giuseppe, Giochi di aritmetica e problemi interessanti.
http://utenti.quipo.it/base5/peano/giocarit3.htm [24.7.2005]
Reints, Henk:  Gregorian algorithm by  Aloysius Lilius and  Christophorus Clavius
http://www.henk-reints.nl/easter/easteralg1.htm
Roegel, Denis, The missing new moon of A.D. 16399 and other anomalies of the Gregorian calendar, 2004.
http://www.loria.fr/~roegel/articles/epact19.pdf
Ross, Kelley L., The Determination of Easter, On both the Julian and the Gregorian Calendars. http://www.friesian.com/easter.htm [24.7.2005]
Tøndering, Claus, Frequently Asked Questions about Calendars
http://www.tondering.dk/claus/cal/calendar27.html
Wikipedia: Computus
http://en.wikipedia.org/wiki/Computus
Wikipedia: Gaußsche Osterformel
http://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_Osterformel



Ming-dynastian aikainen islamilainen kalenteri

Kotisivu